Begay se narodil v Tuba City v Arizoně 11. ledna 1954. Vyrůstal v rezervaci Navajo, kde se od svých rodičů a prarodičů naučil o tradiční kultuře Navahů. Begay začal kreslit a malovat v mladém věku a brzy si uvědomil, že má talent na umění.
Po absolvování střední školy Begay studoval umění na Institutu umění amerických indiánů v Santa Fe v Novém Mexiku. Poté navštěvoval University of Arizona, kde získal titul Bachelor of Fine Arts.
Begayovy obrazy zobrazují různé předměty, včetně obřadů Navajo, rituálů a každodenního života. Jeho dílo je charakteristické svými zářivými barvami, složitými vzory a silným smyslem pro spiritualitu. Begayovy obrazy byly chváleny pro svou krásu, kulturní význam a schopnost zachytit podstatu života Navahů.
Begayova práce byla vystavena v muzeích a galeriích po celém světě, včetně Smithsonian Institution, Heard Museum a Museum of Modern Art. Získal také řadu ocenění, včetně National Endowment for the Arts Fellowship, Arizona Governor's Arts Award a Native American Art Awards.
Begayova práce nadále inspiruje a vzdělává diváky o kultuře Navajo. Je považován za jednoho z nejvýznamnějších indiánských umělců své generace.
Begay zemřel na rakovinu 17. srpna 2012 v Tuba City v Arizoně. Bylo mu 58 let.